Oddie nació en Rochdale, cerca de Manchester, y creció en Birmingham antes de asistir a la Universidad de Cambridge, donde fue miembro de la ilustre compañía de comedia Footlights.
Antes de graduarse, ya escribía para programas como la serie satírica de televisión That Was The Week That Was a principios de la década de 1960. Posteriormente, escribió y apareció en programas como "I'm Sorry I'll Read That Again", "At Last the 1948 Show", "Twice a Fortnight" y "Doctor in The House".
Con frecuencia, actuaba y escribía junto a otras figuras emergentes de la comedia como John Cleese, Michael Palin y Terry Jones, de Monty Python, y sus futuros compañeros de The Goodies: Tim Brooke-Taylor y Graeme Garden.
